​莱布尼茨判别法，没有研究生的水平，恐怕看不懂

莱布尼茨判别法，没有研究生的水平，恐怕看不懂

莱布尼尼茨判别法是专门用来判断交错级数的收敛性的。如果交错级数满足下面这两个条件，那么就证明该交错级数收敛，而且收敛于一个比首项小的数。

(1)数列{un}单调递减；(2)数列un收敛于0，即当n趋于正无穷大时，limun=0. 这里默认数列{un}的每项都是正数。而交错级数则是级数各项符号正负间的，即u1-u2+u3-u4+…+(-1)^(n+1)un+….

证明这个定理可以分别列出交错级数的部分和数列{Sn}的奇数项和偶数项，它们分别记为：S_(2m-1)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))，S_(2m)=(u1-u2)+u3-u4+…+(u_(2m-1)-u_(2m))。

因为数列{un}是单调递减的，所以(un-u_(n-1))>=0，即上面两个式子的括号内的数都非负。从而可以知道，数列{S_(2m-1)}递减，而数列{S_(2m)}递增。

又当n趋于正无穷大时，limun=0，因此奇数项数列和偶数项数列的对应项的差S_(2m-1)-S_(2m)=u_(2m)>0，在m趋于正无穷大时，这个差趋于0. 这样在{[S_(2m),S_(2m-1)]}之间就形成了一个区间套。由区间套定理就可以知道，一定存在唯一的一个数S，使得当m趋于正无穷大时，limS_(2m-1)=limS_(2m)=S. 即数列{Sn}收敛于S，也就是说该交错级数是收敛的。

注意，莱布尼茨判别法只是交错级数收敛的充分条件，并不是必要条件，这个很好说明，只要把一个符号莱布尼茨判别法的交错数列的第三项增大到比第一项还大，只要是一个具体的值，则得到的新的交错级数仍是一个收敛级数，但它却不满足莱布尼茨判别法的条件了。

另外满足莱布尼茨判别法的交错级数的和S<u1. 因为 S_(2m-1)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))<u1, S_(2m)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))-u_(2m)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))-(u_(2m)-u_(2m+1))-u_(2m+1)<u1.

同理就可以得到莱布尼茨判别法的一个推论：满足莱布尼茨判别法的交错级数，它的余项估计式|Rn|<=u_(n+1).