欧姆定律公式推导过程（欧姆定律：你对欧姆定律的理解还有这些误区）

01

关于欧姆定律，我们在初中的时候就学过了，现在到了高中，一些老师总觉得这是一个简单内容，就不太花功夫去讲解这个定律，学生们也觉得这个内容很熟悉，就放弃了深入思考的机会。

这就导致很多学生对于

欧姆定律的公式本身

，以及它的

适用条件

有很多的误区。

①欧姆定律的表达式是I=U/R，还是U=IR，还是R=U/I；

②用R=U/I时，只适用于线性元件，非线性元件不能用这个公式；

③▲U/▲I可以表示电阻的大小。

02

先来说说欧姆定律的真实诞生过程，其实欧姆定律并不是通过高大上的数学计算推导而来。

而是欧姆老师自己呆在实验室，通过研究流过导体的电流，与加载在导体两端的电压关系，最终发现，对于

同一个电阻

而言，其电流与电压是正比关系，可以理解为这样的式子

实验的对象包括导体电阻、电解质溶液，它们都满足这样的正比关系。

后来引入I与U之间的比例系数，这个系数称为

电导D

，则有I=DU，而

电阻就是电导系数的倒数

，即有D=1/R，最终才有我们熟悉的欧姆定律公式

03

电流从何而来？

我们知道金属导体是由一个个的原子构成，而原子又由原子核和核外的电子构成，原子核带正电，核外电子带负电。

虽然原子核很小，但是其质量很大，所以几乎不能移动，而核外的电子质量很小，很容易发生转移。

所以

在导体内部有大量的自由电子在无规则的运动。

当金属导体两端加上电压之后，则会在导体内部形成

静电场

，这些自由电子受到了

静电力

的作用，从而会乖乖的向静电力的方向去移动。

如上图所示，当导体两端加了电压之后，在导体内部就会形成一个向左的静电场，导体内部的自由电子受到了向右的电场力的作用后，就会乖乖的向右移动，从而形成了

电流

。

我们接着思考一个问题，就是在这些电子向右定向移动的过程中，它们会遇到一些不太友好的东西，这些东西就是它以前的”好基友”—原子核。

刚才说过，原子核是不移动的，所以在电子的定向移动中，它们就是挡在电子去路上的拦路虎，这些

原子核的阻碍作用，就是电阻。

我们知道了是原子核在阻碍电子的定向移动，从而形成了电阻。

那么我们就可以知道电阻的

本质影响因素

：

第一个、原子核的间距的大小

，间距大的原子核对电子定向移动影响小，从而电阻小；

第二个、导体的温度

，当温度升高时，原子核就会获得额外的动能，它会在自己的原有位置附近来回振动，从而对电子的定向移动产生影响。

可以得知，

温度越高，其电阻越大

，小灯泡的伏安特性曲线就是一个典型的例子。

可以看到小灯泡的电阻随着其温度升高而增大，这里注意一个问题，在这个图像里面并不是看斜率的变化看电阻大小的变化，也是不是看斜率倒数变化看电阻大小。

伏安特性曲线中，其斜率没有任何含义

，关于这点，我在下面会讲到。

04

由于原子核对自由电荷的定向移动形成阻碍，从而形成了电阻，所以对对于欧姆定律I=U/R，这个公式只能适用于

纯粹的电阻元器件

（原子核的阻碍形成电阻）。

若在电路中，对自由电子的定向移动的阻碍作用不是原子核，还有其他的东西，那么欧姆定律将会失效。

比较典型的就是

电动机

，下面我们对电动机的内部结构深入分析。

如上图，这是电动机内部结构，左侧是N极，右侧是S极，那么就会有从左向右的磁场。

若在中间的线圈里面通入一个逆时针电流，根据左手定则，可以判断现在线圈是在顺时针旋转（根据我画的图方向去看），但是又由于右手安培定则，可以判断这个线圈中同时会产生一个顺时针的电动势，现在我把中间的线圈的简化电路画出来如下。

也就是说明在这个线圈里面产生了

两个电场

一个是向左的电场，这个电场是

外部电源提供的

；另一个是向右的电场，这个电场是

感应出来的

所以对于电动机而言，不能简单的用I=U/R来计算，正确的方程应该是I=(U正-U反)/R。

我们对这个式子两个同×R，然后再同×I，则可以整理得到如下式子。

等式左边就是线圈内阻上消耗的功率，也就是

热功率

等式右边第一项是电源的电压与电流的乘积，这个代表的是

电源总功率

等式右边第二项是什么意思呢？

这个其实就是

安培力做功

，在电动机中，安培力做功将电能转化为了机械能（安培力做功可以将电能和机械能之间相互转化）

也就是说这个式子其实表示的是

电动机对外部做功的机械功率。

05

我们接着再来看下一个问题，欧姆定律的变形形式R=U/I适不适合用在非线性元件中？

与之很接近的一个问题▲U/▲I是否有含义？

不论是否是线性元件，这个不是问题的关键点，关键在于电子元件

是否是纯电阻

若是纯电阻，则此公式就是适用的，还是拿小灯泡来举例子，小灯泡的伏安特性曲线是一条曲线，它并不是线性元件，但是小灯泡属于纯电阻，所以R=U/I同样适用。

接着看后一个问题，▲U/▲I的含义是什么？

有些资料书或老师会讲下面这两句话，对于线性元件来说，它的含义就是电阻，而对于非线性元件来说，它无意义。

这句话是对的，但是这个式子的本质含义是什么呢？

这里需要借助数学的导数含义（或者微分含义）去理解了。

也就是原函数切线的斜率就是▲y/▲x的结果。

这也就是为什么在速度-时间图像中，切线的斜率可以表示加速度的原因。

同理，位移-时间图像中，切线斜率可以表示速度的原因。

在U-I图像中，

▲U/▲I代表的含义就是其图像切线的斜率。

但是R=U/I这个式子，并不能写成R=▲U/▲I，所以U-I图像中，其切线的斜率并不能代表电阻。

那为什么对于线性电阻元件可以用这个▲U/▲I表示电阻呢？

原因在于线性元件的U-I

图像是一条直线

，通过R=U/I与R=▲U/▲I

计算出来的值是一样的

，但是这并不意味着R=▲U/▲I这个式子是有意义的。

06

本篇文章主要讲解了欧姆定律大家常见理解误区，并且从原理上分析了

欧姆定律的本质

，希望大家在使用这条简单易用的公式时，不要再迷迷糊糊。

同时也希望你在学习物理时，不要只记表面结论，当一个问题想不明白时，多多想想其本质的由来，很多问题即可迎刃而解。